Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} i + 1 & 2 & 1 & - i \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Paso 1

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 1.1

Reordena $i$ y $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 & 1 & - i \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Paso 1.2

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{1 + i}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 1.2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{1 + i}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + i}{1 + i} & \frac{2}{1 + i} & \frac{1}{1 + i} & \frac{- i}{1 + i} \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Paso 1.2.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Paso 1.3

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 1.3.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 1 - 1 & i - (1 - i) & 2 i - (\frac{1}{2} - \frac{i}{2}) & 2 - (- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}) \end{array}]$

Paso 1.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 0 & - 1 + 2 i & - \frac{1}{2} + \frac{5 i}{2} & \frac{5}{2} + \frac{i}{2} \end{array}]$

Paso 1.4

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{- 1 + 2 i}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{- 1 + 2 i}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ \frac{0}{- 1 + 2 i} & \frac{- 1 + 2 i}{- 1 + 2 i} & \frac{- \frac{1}{2} + \frac{5 i}{2}}{- 1 + 2 i} & \frac{\frac{5}{2} + \frac{i}{2}}{- 1 + 2 i} \end{array}]$

Paso 1.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 0 & 1 & \frac{11}{10} - \frac{3 i}{10} & - \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10} \end{array}]$

Paso 1.5

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - (1 - i) R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 1.5.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - (1 - i) R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - (1 - i) \cdot 0 & 1 - i - (1 - i) \cdot 1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (1 - i) (\frac{11}{10} - \frac{3 i}{10}) & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (1 - i) (- \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10}) \\ 0 & 1 & \frac{11}{10} - \frac{3 i}{10} & - \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10} \end{array}]$

Paso 1.5.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{10} + \frac{9 i}{10} & \frac{9}{10} + \frac{3 i}{10} \\ 0 & 1 & \frac{11}{10} - \frac{3 i}{10} & - \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10} \end{array}]$

Paso 2

Las posiciones de pivote son las ubicaciones con el $1$ principal en cada fila. Las columnas pivote son las columnas que tienen una posición de pivote.

Posiciones de pivote: $a_{11}$ y $a_{22}$

Columnas pivote: $1$ y $2$

Paso 3

El rango es el número de columnas pivote.

$2$